798. Smallest Rotation with Highest Score

 

Given an array A, we may rotate it by a non-negative integer K so that the array becomes A[K], A[K+1], A{K+2], ... A[A.length - 1], A[0], A[1], ..., A[K-1].  Afterward, any entries that are less than or equal to their index are worth 1 point. 

For example, if we have [2, 4, 1, 3, 0], and we rotate by K = 2, it becomes [1, 3, 0, 2, 4].  This is worth 3 points because 1 > 0 [no points], 3 > 1 [no points], 0 <= 2 [one point], 2 <= 3 [one point], 4 <= 4 [one point].

Over all possible rotations, return the rotation index K that corresponds to the highest score we could receive.  If there are multiple answers, return the smallest such index K.

Example 1:
Input: [2, 3, 1, 4, 0]
Output: 3
Explanation:  
Scores for each K are listed below: 
K = 0,  A = [2,3,1,4,0],    score 2
K = 1,  A = [3,1,4,0,2],    score 3
K = 2,  A = [1,4,0,2,3],    score 3
K = 3,  A = [4,0,2,3,1],    score 4
K = 4,  A = [0,2,3,1,4],    score 3

So we should choose K = 3, which has the highest score.

 

Example 2:
Input: [1, 3, 0, 2, 4]
Output: 0
Explanation:  A will always have 3 points no matter how it shifts.
So we will choose the smallest K, which is 0.

Note:

  • A will have length at most 20000.
  • A[i] will be in the range [0, A.length].

 

这道题给了我们一个长度为N的数组,说是数组中的数字的范围都在[0, N]之间,然后定义了一个旋转操作,比如在位置K进行旋转,数组在K位置断开,新数组以A[k]为开头数字,断开的前半段数组直接拼到末尾即可。然后又定义了一种积分规则,说是如果某个坐标位置大于等于其数字的话,得1分,让我们求出某个旋转位置K,使得其积分最大,如果积分相同的话,取位置小的K。通过分析题目中的例子,发现题目并不难理解。博主首先尝试了暴力搜索的方法,就是遍历每个K值,生成旋转后的数组,然后再统计得分,不幸挂掉了。那么我们必须要想出更好的解法才行。首先我们想,如果数组中的每个数字都跟其坐标值相同的话,比如[0, 1, 2, 3, 4],那么肯定得分最高,即K=0。但实际上并不会是有序的,而且并不是每个数字都会出现,题目中只给了数字的范围,有可能会有重复数字哦。说实话这道题博主研究大神lee215的帖子,都研究了好久,最后终于有些明白了,就大概讲讲吧,如果有不对的地方欢迎大家指正。

这道题博主感觉还是很有难度的,而且答案的思路也十分巧妙,并没有采用brute force那种直接求每一个K值的得分,而是反其道而行之,对于每个数字,探究其跟K值之间的联系。首先我们要讨论一下边界情况,那么就是当A[i] = 0 或 N 的情况,首先如果A[i] = 0的话,那么0这个数字在任何位置都会小于等于坐标值,所以在任何位置都会得分的,那么其实可以忽略之,因为其不会对最大值产生任何影响,同理,如果A[i] = N的时候,由于长度为N的数组的坐标值范围是[0, N-1],所以数字N在任何位置都不得分,同样也不会对最大值产生任何影响,可以忽略之。那么我们关心的数字的范围其实是[1, N-1]。在这个范围内的数字在旋转数组的过程中,从位置0变到N-1位置的时候,一定会得分,因为此范围的数字最大就是N-1。这个一定得的分我们在最后统一加上,基于上面的发现,我们再来分析下题目中的例子 [2, 3, 1, 4, 0],其中红色数字表示不得分的位置:

A:    2   3   1   4   0   (K = 0)

A:    3   1   4   0   2   (K = 1)

A:    1   4   0   2   3   (K = 2)

A:    4   0   2   3   1   (K = 3)

A:    0   2   3   1   4   (K = 4)

idx:  0   1   2   3   4

对于某个数字A[i],我们想知道其什么时候能旋转到坐标位置为A[i]的地方,这样就可以得分了。比如上面博主标记了红色的数字3,最开始时的位置为1,此时是不得分的,我们想知道其什么时候能到位置3,答案是当K=3的时候,其刚好旋转到位置3,K再增加的时候,其又开始不得分了。所以这个最后能得分的临界位置是通过 (i - A[i] + N) % N 得到,那么此时如果K再增加1的话,A[i]就开始不得分了(如果我们suppose每个位置都可以得分,那么不得分的地方就可以当作是失分了),所以我们可以在这个刚好开始不得分的地方标记一下,通过-1进行标记,这个位置就是 (i - A[i] + 1 + N) % N。我们用一个长度为N的change数组,对于每个数字,我们都找到其刚好不得分的地方,进行-1操作,那么此时change[i]就表示数组中的数字在i位置会不得分的个数,如果我们仔细观察上面红色的数字,可以发现,由于是左移,坐标在不断减小,所以原先失分的地方,在K+1的时候还是失分,除非你从开头位置跑到末尾去了,那会得分,所以我们要累加change数组,并且K每增加1的时候,要加上额外的1,最后change数组中最大数字的位置就是要求的K值了,参见代码如下:

 

解法一:

class Solution {
public:
    int bestRotation(vector<int>& A) {
        int n = A.size();
        vector<int> change(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i) change[(i - A[i] + 1 + n) % n] -= 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i) change[i] += change[i - 1] + 1;
        return max_element(change.begin(), change.end()) - change.begin();
    }
};

 

我们也可以不用STL自带的max_element函数,而是在遍历的过程中同时找最大值即可,参见代码如下: 

 

解法二:

class Solution {
public:
    int bestRotation(vector<int>& A) {
        int n = A.size(), res = 0;
        vector<int> change(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i) change[(i - A[i] + 1 + n) % n] -= 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            change[i] += change[i - 1] + 1;
            res = (change[i] > change[res]) ? i : res;
        }
        return res;
    }
};

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/smallest-rotation-with-highest-score/discuss/121296/7-lines-C++-solution

https://leetcode.com/problems/smallest-rotation-with-highest-score/discuss/118725/Easy-and-Concise-5-lines-Solution-C++JavaPython?page=2

 

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