757. Set Intersection Size At Least Two

 

An integer interval [a, b] (for integers a < b) is a set of all consecutive integers from a to b, including a and b.

Find the minimum size of a set S such that for every integer interval A in intervals, the intersection of S with A has size at least 2.

Example 1:

Input: intervals = [[1, 3], [1, 4], [2, 5], [3, 5]]
Output: 3
Explanation:
Consider the set S = {2, 3, 4}.  For each interval, there are at least 2 elements from S in the interval.
Also, there isn't a smaller size set that fulfills the above condition.
Thus, we output the size of this set, which is 3.

 

Example 2:

Input: intervals = [[1, 2], [2, 3], [2, 4], [4, 5]]
Output: 5
Explanation:
An example of a minimum sized set is {1, 2, 3, 4, 5}.

 

Note:

  1. intervals will have length in range [1, 3000].
  2. intervals[i] will have length 2, representing some integer interval.
  3. intervals[i][j] will be an integer in [0, 10^8].

 

这道题给了我们一些区间,让我们求一个集合S,使得S和每个区间的交集至少为2,即至少有两个相同的数字。博主最开始分析题目中的例子的时候,以为要求的集合S也必须是一个连续的区间,其实不需要的,离散的数字就可以了。比如如果区间是[1,3], [5,6]的话,那么返回的集合长度是4,而不是5。这道题可以是用贪婪算法来解,一般来说Hard的题目能用贪婪算法而不是DP解的是少之又少,这道题为我大Greedy算法正名了~!为了使得集合S中的数字尽可能的小,我们希望处理区间的时候从小区间开始,如果区间b完全覆盖了区间a,那么和区间a有两个相同数字的集合,一定和区间b也有两个相同数字。同样,我们不希望一会处理一个前面的区间,一会又处理一个很后面的区间,我们希望区间是有序的。那么如何给区间排序呢,是按起始位置排,还是按结束位置排,这里我们按结束位置从小往大排,当两个结束位置相同时,起始位置大的排前面先处理,这也符合我们先处理小区间的原则。那么遍历区间的时候,当前区间就和我们维护的集合S有三种情况:

1. 二者完全没有交集,这时候我们就需要从当前区间中取出两个数字加入集合S,取哪两个数呢?为了尽可能少使用数字,我们取当前区间中的最大两个数字,因为我们区间位置不断变大,所以取大的数字有更高的概率能和后面的区间有交集。

2. 二者有一个数字的交集,那么这个交集数字一定是区间的起始位置,那么我们需要从当前区间中再取一个数字加入集合S,根据上面的分析,我们取最大的那个数,即区间的结束位置。

3. 二者有两个及两个以上数字的交集,那么不用做任何处理。

好,分析到这里,代码也就不难写出来了,我们用个数组v来表示集合S,初始化放两个-1进去,因为题目中说明了区间都是大于0的,所以我们放这两个数组进去是为了防止越界的,不会有任何影响,最后统计长度的时候减去这个两个数字就可以了。先给区间排序,然后遍历每个区间,如果区间的起始位置小于等于数组的倒数第二个数字,说明此时已经有两个相同的数字了,直接跳过当前区间。否则如果区间的起始位置大于数组的最后一个位置,说明二者没有任何交集,我们此时先把区间的倒数第二小的数字加入数组v中。然后统一再把区间的结束位置加入数组v中,因为不管区间和数组有一个交集还是没有任何交集,结束位置都要加入数组中,所以不用放在if..else..中。最后循环结束,返回数组的大小减2,参见代码如下:

 

解法一:

class Solution {
public:
    int intersectionSizeTwo(vector<vector<int>>& intervals) {
        vector<int> v{-1, -1};
        sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b){
            return a[1] < b[1] || (a[1] == b[1] && a[0] > b[0]);
        });
        for (auto &interval : intervals) {
            int len = v.size();
            if (interval[0] <= v[len - 2]) continue;
            if (interval[0] > v.back()) v.push_back(interval[1] - 1);
            v.push_back(interval[1]);
        }
        return v.size() - 2;
    }
};

 

我们可以对空间复杂度进行优化,我们不用保存整个集合S,因为结果只让我们返回长度即可,所以我们用两个变量p1和p2,其中p1表示集合S中倒数第二大的数字,p2为集合S中最大的数字。我们的整个逻辑跟上面的解法是相同的。遍历区间的时候,如果区间的起始位置小于等于p1,则跳过当前区间。否则如果起始位置大于p2,说明没有交集,需要加上两个数字,结果res自增2,然后p2赋值为当前区间的结束位置,p1赋值为第二大的数字。否则说明只有一个交集,结果res自增1,然后p1赋值为p2,p2赋值为当前区间的结束位置即可,参见代码如下:

 

解法二:

class Solution {
public:
    int intersectionSizeTwo(vector<vector<int>>& intervals) {
        int res = 0, p1 = -1, p2 = -1;
        sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b){
            return a[1] < b[1] || (a[1] == b[1] && a[0] > b[0]);
        });
        for (auto &interval : intervals) {
            if (interval[0] <= p1) continue;
            if (interval[0] > p2) {
                res += 2;
                p2 = interval[1];
                p1 = p2 - 1;
            } else {
                ++res;
                p1 = p2;
                p2 = interval[1];
            }
        }
        return res;
    }
};

 

讨论:这道题的一个拓展就是一般化,改为交集大小至少为k,那么我们该怎么做呢?其实也不是很难,我们可以在解法一的基础上进行修改,我们还是用数组v来表示集合S,只不过我们初始化加入k个-1。然后还是要给区间排序,之后进行遍历,如果起始位置小于等于倒数第k个数,跳过当前区间。然后就是重点部分了,我们还是用起始位置跟数组v的最后面的数字比较,总共比到倒数第k-1个数就行了,因为小于等于倒数第k个数已经跳过了。如果大于最后一个数,则将区间后k个数加入数组;否则如果大于倒数第二个数,则将区间后k-1个数加入数组;否则如果大于倒数第三个数,则将数组后k-2个数加入数组,以此类推,直到比完倒数第k-1个数就行了,最后返回的是数组v的长度减去k。

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/set-intersection-size-at-least-two/discuss/117545/C++-sort-and-greedy-10-lines

https://leetcode.com/problems/set-intersection-size-at-least-two/discuss/113089/C++-concise-solution-O(nlogn)-greedy-39-ms

https://leetcode.com/problems/set-intersection-size-at-least-two/discuss/113085/Ever-wonder-why-the-greedy-algorithm-works-Here-is-the-explanation!

 

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