634. Find the Derangement of An Array

 

In combinatorial mathematics, a derangement is a permutation of the elements of a set, such that no element appears in its original position.

There’s originally an array consisting of n integers from 1 to n in ascending order, you need to find the number of derangement it can generate.

Also, since the answer may be very large, you should return the output mod 109 + 7.

Example 1:

Input: 3
Output: 2
Explanation: The original array is [1,2,3]. The two derangements are [2,3,1] and [3,1,2].

 

Note:
n is in the range of [1, 106].

 

这道题给了我们一个数组,让我们求其错排的个数,所谓错排就是1到n中的每个数字都不在其原有的位置上,全部打乱了,问能有多少种错排的方式。博主注意到了这道题又让对一个很大的数取余,而且每次那个很大的数都是109 + 7,为啥大家都偏爱这个数呢,有啥特别之处吗?根据博主之前的经验,这种结果很大很大的题十有八九都是用dp来做的,那么就建一个一维的dp数组吧,其中dp[i]表示1到i中的错位排列的个数。那么难点就是找递推公式啦,先从最简单的情况来看:

n = 1 时有 0 种错排

n = 2 时有 1 种错排 [2, 1]

n = 3 时有 2 种错排 [3, 1, 2], [2, 3, 1]

然后博主就在想知道了dp[2],能求出dp[3]吗,又在考虑是不是算加入数字3的情况的个数。结果左看右看发现没有啥特别的规律,又在想是不是有啥隐含的信息需要挖掘,还是没想出来。于是看了一眼标签,发现是Math,我的天,难道又是小学奥数的题?挣扎了半天最后还是放弃了,上网去搜大神们的解法。其实这道题是组合数学种的错排问题,是有专门的递归公式的。

我们来想n = 4时该怎么求,我们假设把4排在了第k位,这里我们就让k = 3吧,那么我们就把4放到了3的位置,变成了:

x x 4 x

我们看被4占了位置的3,应该放到哪里,这里分两种情况,如果3放到了4的位置,那么有:

x x 4 3

那么此时4和3的位置都确定了,实际上只用排1和2了,那么就相当于只排1和2,就是dp[2]的值,是已知的。那么再来看第二种情况,3不在4的位置,那么此时我们把4去掉的话,就又变成了:

x x x

这里3不能放在第3个x的位置,在去掉4之前,这里是移动4之前的4的位置,那么实际上这又变成了排1,2,3的情况了,就是dp[3]的值。

再回到最开始我们选k的时候,我们当时选了k = 3,其实k可以等于1,2,3,也就是有三种情况,所以dp[4] = 3 * (dp[3] + dp[2])。

那么递推公式也就出来了:

dp[i] = (i - 1) * (dp[i - 1] + dp[i - 2])

有了递推公式,代码就不难写了吧,参见代码如下:

 

解法一:

class Solution {
public:
    int findDerangement(int n) {
        if (n < 2) return 0;
        vector<long long> dp(n + 1, 0);
        dp[1] = 0; dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - 2]) * (i - 1) % 1000000007;
        }
        return dp[n];
    }
};

 

下面这种解法精简了空间,因为当前值只跟前两个值有关系,所以没必要保留整个数组,只用两个变量来记录前两个值,并每次更新一下就好了,参见代码如下:

 

解法二:

class Solution {
public:
    int findDerangement(int n) {
        long long a = 0, b = 1, res = 1;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            res = (i - 1) * (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = res;
        }
        return (n == 1) ? 0 : res;
    }
};

 

下面这种方法是对之前的递推公式进行了推导变形,使其只跟前一个数有关,具体的推导步骤是这样的:

我们假设 e[i] = dp[i] - i * dp[i - 1]

递推公式为:  dp[i] = (i - 1) * (dp[i - 1] + dp[i - 2])

将递推公式带入假设,得到:

e[i] = -dp[i - 1] + (n - 1) * dp[i - 2] = -e[i - 1]

从而得到 e[i] = (-1)^n

那么带回假设公式,可得: dp[i] = i * dp[i - 1] + (-1)^n

根据这个新的递推公式,可以写出代码如下:

 

解法三:

class Solution {
public:
    int findDerangement(int n) {
        long long res = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            res = (i * res + (i % 2 == 0 ? 1 : -1)) % 1000000007; 
        }
        return res;
    }
};

 

参考资料:

https://discuss.leetcode.com/topic/94429/o-n-short-java-code

https://discuss.leetcode.com/topic/94767/java-dp-solution-with-explanation

https://discuss.leetcode.com/topic/94421/java-solution-with-explanation-by-using-staggered-formula

 

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