779. K-th Symbol in Grammar

 

On the first row, we write a 0. Now in every subsequent row, we look at the previous row and replace each occurrence of 0 with 01, and each occurrence of 1 with 10.

Given row N and index K, return the K-th indexed symbol in row N. (The values of K are 1-indexed.) (1 indexed).

Examples:
Input: N = 1, K = 1
Output: 0

Input: N = 2, K = 1
Output: 0

Input: N = 2, K = 2
Output: 1

Input: N = 4, K = 5
Output: 1

Explanation:
row 1: 0
row 2: 01
row 3: 0110
row 4: 01101001

Note:

  1. N will be an integer in the range [1, 30].
  2. K will be an integer in the range [1, 2^(N-1)].

 

这道题说第一行写上了一个0,然后从第二行开始,遇到0,就变为01,遇到1,则变为10,问我们第N行的第K个数字是啥。这是一道蛮有意思的题目,首先如果没啥思路的话,按照给定的方法,一行行generate出来,直到生成第N行,那么第K个数字也就知道了。但是这种brute force的方法无法通过OJ,这里就不多说了,需要想一些更高端的解法。我们想啊,遇到0变为01,那么可不可以把0和1看作上一层0的左右子结点呢,同时,把1和0看作上一层1的左右子结点,这样的话,我们整个结构就可以转为二叉树了,那么前四层的二叉树结构如下所示:

              0
       /             \
      0               1
   /     \         /     \
  0       1       1       0
 / \     / \     / \     / \
0   1   1   0   1   0   0   1

我们仔细观察上面这棵二叉树,第四层K=3的那个红色的左子结点,其父结点的位置是第三层的第 (K+1)/2 = 2个红色结点,而第四层K=6的那个蓝色幽子结点,其父节点的位置是第三层的第 K/2 = 3个蓝色结点。那么我们就可以一层一层的往上推,直到到达第一层的那个0。所以我们的思路是根据当前层K的奇偶性来确定上一层中父节点的位置,然后继续往上一层推,直到推倒第一层的0,然后再返回确定路径上每一个位置的值,这天然就是递归的运行机制啊。我们可以根据K的奇偶性知道其是左结点还是右结点,由于K是从1开始的,所以当K是奇数时,其是左结点,当K是偶数时,其是右结点。而且还能观察出来的是,左子结点和其父节点的值相同,右子结点和其父节点值相反,这是因为0换成了01,1换成了10,左子结点保持不变,右子结点flip了一下。想通了这些,那么我们的递归解法就不难写出来了,参见代码如下:

 

解法一:

class Solution {
public:
    int kthGrammar(int N, int K) {
        if (N == 1) return 0;
        if (K % 2 == 0) return (kthGrammar(N - 1, K / 2) == 0) ? 1 : 0;
        else return (kthGrammar(N - 1, (K + 1) / 2) == 0) ? 0 : 1;
    }
};

 

我们可以简化下上面的解法,你们可能会说,纳尼?已经三行了还要简化?没错,博主就是这样一个精益求精的人(此处应有掌声👏)。我们知道偶数加1除以2,和其本身除以2的值是相同的,那么其实不论K是奇是偶,其父节点的位置都可以用 (K+1)/2 来表示,问题在于K本身的奇偶决定了其左右结点的位置,从而决定要不要flip父节点的值,这才是上面解法中我们要使用 if…else 结构的原因。实际上我们可以通过‘亦或’操作来实现一行搞定,叼不叼。我们来看下变换规则,0换成了01,1换成了10。

0 -> 01

左子结点(0) = 父节点(0) ^ 0 

右子结点(1) = 父节点(0) ^ 1 

1 -> 10

左子结点(1) = 父节点(1) ^ 0 

右子结点(0) = 父节点(1) ^ 1 

那么只要我们知道了父结点的值和当前K的奇偶性就可以知道K的值了,因为左子结点就是父结点值‘亦或’0,右子结点就是父结点值‘亦或’1,由于左子结点的K是奇数,我们可以对其取反再‘与’1,所以就是 (~K & 1),再‘亦或’上递归函数的返回值即可,参见代码如下:

 

解法二:

class Solution {
public:
    int kthGrammar(int N, int K) {
        if (N == 1) return 0;
        return (~K & 1) ^ kthGrammar(N - 1, (K + 1) / 2);
    }
};

 

下面这种解法的思路也十分巧妙,还是从变换规则入手,0换成了01,1换成了10。我们来看解法一讲解中的二叉树示例图中的蓝色路径,第四层K=6,第三层K=3,第二层K=2,第一层K=1,所以路径就是 6->3->2->1,如果我们换成0开头的计数方法,那么路径就是 5->2->1->0,再换成二进制的表达方式就是 101->10->1->0,我们发现其实就是每次右移一位,直到移动到0,而当最低位是1的时候,表示当前是右子结点,需要flip一下,那么只要我们知道总共flip了多少次,就能推算出第K个位置的值。比如 101->10->1->0,总共flip了两次变成了0,那么说明K=6的位置值为0。于是问题就转化为了统计K-1这个数的二进制表示中位1的个数,使用一个while循环统计出来就可以了,然后根据个数的奇偶性返回1或0即可,参见代码如下:

 

解法三:

class Solution {
public:
    int kthGrammar(int N, int K) {
        int cnt = 0;
        --K;
        while (K) {
            cnt += K & 1;
            K >>= 1;
        }
        return cnt % 2;
    }
};

 

下面这种解法的思路也很清新脱俗啊,一切的一切都是从变换规则入手,0换成了01,1换成了10。那么当K是奇数的时候,我们之前分析了,其一定是左子结点,那么其是01或者10的第一个数字,因为只有这两种组合方式,所以如果第K个数是0的话,那么第K+1个数就是1,同样,如果第K个数是1的话,那么第K+1个数就是0,所以此时第K个数和第K+1个数一定相反,那么我们就可以通过‘亦或’1来实现这个一定相反的操作。

当K是偶数的时候,那么其是01或者10的第二个数字,那么根据之前的分析,其是由上一层的第 K/2 位置的数字生成的,上一层的第 K/2 个数字和当前层的第 K/2 个数字是一样的,如果你仔细观察题目中的例子或者博主画的那个二叉树图,只要K不越界,每一层的第K个数字都是相等的。所以如果第K个数是0的话,那么第 K/2 个数就是1,同样,如果第K个数是1的话,那么第 K/2 个数就是0,所以此时第K个数和第 K/2 个数一定相反,那么我们也可以通过‘亦或’1来实现这个一定相反的操作。

于是乎,我们的操作就是,当K是奇数的时候,我们就将其换成K+1,当K是偶数的时候,我们将其换为K/2。然后每次都对结果res(初始化为0)进行‘亦或’1操作,循环的终止条件是当K等于1时,参见代码如下:

 

解法四:

class Solution {
public:
    int kthGrammar(int N, int K) {
        int res = 0;
        while (K > 1) {
            K = (K % 2 == 1) ? K + 1 : K / 2;
            res ^= 1;
        }
        return res;
    }
};

 

下面这种解法跟解法三的思路完全相同,只不过使用了bitset这个内置的数据结构来快速的求出了K-1的二进制表达数中的位1的个数,Java中可以直接使用Integer.bitCount()函数,参见代码如下:

 

解法五:

class Solution {
public:
    int kthGrammar(int N, int K) {
        return bitset<32>(K - 1).count() % 2;
    }
};

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/k-th-symbol-in-grammar/solution/

https://leetcode.com/problems/k-th-symbol-in-grammar/discuss/113705/JAVA-one-line

https://leetcode.com/problems/k-th-symbol-in-grammar/discuss/113697/My-3-lines-C++-recursive-solution

https://leetcode.com/problems/k-th-symbol-in-grammar/discuss/121544/C++JavaPython-Another-Solution-with-Explanation

https://leetcode.com/problems/k-th-symbol-in-grammar/discuss/113721/C++-with-explanation-three-solutions-O(n)-O(logn)-and-O(loglogn)

 

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