119. Pascal's Triangle II

 

Given a non-negative index  k  where  k  ≤ 33, return the  k th index row of the Pascal’s triangle.

Note that the row index starts from 0.


In Pascal’s triangle, each number is the sum of the two numbers directly above it.

Example:

Input: 3
Output: [1,3,3,1]

Follow up:

Could you optimize your algorithm to use only  O ( k ) extra space?

 

杨辉三角想必大家并不陌生,应该最早出现在初高中的数学中,其实就是二项式系数的一种写法。

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1
  1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

杨辉三角形第n层(顶层称第0层,第1行,第n层即第 n+1 行,此处n为包含0在内的自然数)正好对应于二项式 \\left\(a+b\\right\)^{n} 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为2的二项式 \\left\(a+b\\right\)^{2} 展开形式 a^{2}+2ab+b^{2} 的系数。

 

杨辉三角主要有下列五条性质:

  1. 杨辉三角以正整数构成,数字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
  2. n行的数字个数为n个。
  3. n行的第k个数字为组合数 C_{n-1}^{k-1}
  4. n行数字和为 2^{n-1}
  5. 除每行最左侧与最右侧的数字以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和(也就是说,第n行第k个数字等于第 n-1 行的第 k-1 个数字与第k个数字的和)。这是因为有组合恒等式:C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^{i}。可用此性质写出整个杨辉三角形。

 

由于题目有额外限制条件,程序只能使用 O(k) 的额外空间,那么这样就不能把每行都算出来,而是要用其他的方法, 我最先考虑用的是第三条性质,算出每个组合数来生成第n行系数,代码请参见评论区一楼。本地调试输出前十行,没啥问题,拿到 OJ 上测试,程序在第 18 行跪了,中间有个系数不正确。那么问题出在哪了呢,仔细找找,原来出在计算组合数那里,由于算组合数时需要算连乘,而整型数 int 的数值范围只有 -32768 到 32768 之间,那么一旦n值过大,连乘肯定无法计算。而丧心病狂的 OJ 肯定会测试到成百上千行,所以这个方法不行。那么我们再来考虑利用第五条性质,除了第一个和最后一个数字之外,其他的数字都是上一行左右两个值之和。那么我们只需要两个 for 循环,除了第一个数为1之外,后面的数都是上一次循环的数值加上它前面位置的数值之和,不停地更新每一个位置的值,便可以得到第n行的数字,具体实现代码如下:

 

class Solution {
public:
    vector<int> getRow(int rowIndex) {
        vector<int> res(rowIndex + 1);
        res[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= rowIndex; ++i) {
            for (int j = i; j >= 1; --j) {
                res[j] += res[j - 1];
            }
        }
        return res;
    }
};

 

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/119

 

类似题目:

Pascal’s Triangle

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/pascals-triangle-ii/

https://leetcode.com/problems/pascals-triangle-ii/discuss/38420/Here-is-my-brief-O(k)-solution

https://leetcode.com/problems/pascals-triangle-ii/discuss/38478/My-accepted-java-solution-any-better-code

 

LeetCode All in One 题目讲解汇总(持续更新中…)


转载请注明来源于 Grandyang 的博客 (grandyang.com),欢迎对文章中的引用来源进行考证,欢迎指出任何有错误或不够清晰的表达。可以在下面评论区评论,也可以邮件至 grandyang@qq.com

💰


微信打赏


Venmo 打赏

×

Help us with donation