774. Minimize Max Distance to Gas Station

 

On a horizontal number line, we have gas stations at positions stations[0], stations[1], ..., stations[N-1], where N = stations.length.

Now, we add K more gas stations so that D, the maximum distance between adjacent gas stations, is minimized.

Return the smallest possible value of D.

Example:

Input: stations = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], K = 9
Output: 0.500000

Note:

  1. stations.length will be an integer in range [10, 2000].
  2. stations[i] will be an integer in range [0, 10^8].
  3. K will be an integer in range [1, 10^6].
  4. Answers within 10^-6 of the true value will be accepted as correct.

 

这道题说给了我们n个加油站,两两之间相距不同的距离,然后我们可以在任意地方新加K个加油站,问能使得任意两个加油站之间的最大距离的最小值是多少。乍眼一看,感觉很绕,一会儿最大,一会儿最小的。其实我们可以换个场景,比如n个人站一队,每两个人之间距离不同,有的人之间距离可能很大,有的人可能挨得很近。我们现在需要再加入K个人到队列中,我们希望人与人之间的距离尽可能小,所以新人就应该加入到距离大的地方,然后问我们加入K个人后,求人与人之间的最大距离。这么一说,是不是清晰一点了呢。博主最开始看到这个加油站的题,以为跟之前那道Gas Station有关联,结果发现二者并没有什么关系,只不过公用了加油站这个场景而已。对于这道题,我们还是抽离出本质,就是数组插数问题。博主最先考虑的是用贪婪算法,就是先算出每两个数字之间的距离,然后我们每次往距离最大的那两个数字之间插入一个数字,这种想法看似正确,但是会跪在这样一个test case:

[10, 19, 25, 27, 56, 63, 70, 87, 96, 97],K = 3

其两两之间的距离为:

9,6,2,29,7,7,17,9,1

如果按照博主前面所说的方法,会先将29分开,变成两个14.5,然后会将17分开,变成两个8.5,还剩一个加油站,会将其中一个14.5分开,变成两个7.25。但是这样弄下来,最大的距离还是14.5,而实际上我们有更好的办法,我们用两个加油站将29三等分,会变成三个9.67,然后用剩下的一个去分17,得到两个8.5,此时最大距离就变成了9.67,这才是最优的解法。这说明了博主那种图样图森破的贪婪算法并不work,缺乏对Hard题目的尊重。

后来看了官方解答贴中的解法,发现用DP会内存超标MLE,用堆会时间超标TLE。其实这道题的正确解法是用二分搜索法,博主第一反应是,还有这种操作!!??就是有这种操作!!!这道题使用的二分搜索法是博主归纳总结帖LeetCode Binary Search Summary 二分搜索法小结中的第四种,即二分法的判定条件不是简单的大小关系,而是可以抽离出子函数的情况,下面我们来看具体怎么弄。如果光说要用二分法来做,那么首先就要明确的是二分法用来查找什么,难道是用来查找要插入加油站的位置吗?很显然不是,其实是用来查找那个最小的任意两个加油站间的最大距离。这其实跟之前那道Kth Smallest Element in a Sorted Matrix非常的类似,那道题的二分搜索也是直接去折半定位所求的数,然后再来验证其是否真的符合题意。这道题也是类似的思路,题目中给了数字的范围[0, 10^8],那么二分查找的左右边界值就有了,又给了误差范围10^-6,那么只要right和left差值大于这个阈值,就继续循环。我们折半计算出来的mid就是一个candidate,我们要去验证个candidate是否符合题意。验证的方法其实也不难,我们计算每两个加油站之间的距离,如果此距离大于candidate,则计数器累加1,如果大于candidate距离的个数小于等于k,则说明我们的candidate偏大了,那么right赋值为mid;反之若大于candidate距离的个数大于k,则说明我们的candidate偏小了,那么left赋值为mid。最后left和right都会收敛为所要求的最小的任意两个加油站间的最大距离,是不是很神奇呀!!Amazing!!参见代码如下:

 

解法一:

class Solution {
public:
    double minmaxGasDist(vector<int>& stations, int K) {
        double left = 0, right = 1e8;
        while (right - left > 1e-6) {
            double mid = left + (right - left) / 2;
            if (helper(stations, K, mid)) right = mid;
            else left = mid;
        }
        return left;
    }
    bool helper(vector<int>& stations, int K, double mid) {
        int cnt = 0, n = stations.size();
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            cnt += (stations[i + 1] - stations[i]) / mid;
        }
        return cnt <= K;
    }
};

 

我们也可以把上面解法中的子函数揉到主函数里面,这样可以是的代码更加的简洁,参见代码如下:

 

解法二:

class Solution {
public:
    double minmaxGasDist(vector<int>& stations, int K) {
        double left = 0, right = 1e8;
        while (right - left > 1e-6) {
            double mid = left + (right - left) / 2;
            int cnt = 0, n = stations.size();
            for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
                cnt += (stations[i + 1] - stations[i]) / mid;
            }
            if (cnt <= K) right = mid;
            else left = mid;
        }
        return left;
    }
};

 

类似题目:

Find K-th Smallest Pair Distance

Kth Smallest Number in Multiplication Table

Maximum Average Subarray II

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/minimize-max-distance-to-gas-station/solution/

https://leetcode.com/problems/minimize-max-distance-to-gas-station/discuss/113629/Approach-the-problem-using-the-%22trial-and-error%22-algorithm

https://leetcode.com/problems/minimize-max-distance-to-gas-station/discuss/113633/Easy-and-Concise-Solution-using-Binary-Search-C++JavaPython

 

LeetCode All in One 题目讲解汇总(持续更新中…)


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