470. Implement Rand10() Using Rand7()

 

Given a function rand7 which generates a uniform random integer in the range 1 to 7, write a function rand10 which generates a uniform random integer in the range 1 to 10.

Do NOT use system’s Math.random().

 

Example 1:

Input: 1
Output: [7]

Example 2:

Input: 2
Output: [8,4]

Example 3:

Input: 3
Output: [8,1,10]

 

Note:

  1. rand7 is predefined.
  2. Each testcase has one argument: n, the number of times that rand10 is called.

 

Follow up:

  1. What is the expected value for the number of calls to rand7() function?
  2. Could you minimize the number of calls to rand7()?

 

这道题给了我们一个随机生成 [1, 7] 内数字的函数 rand7(),需要利用其来生成一个能随机生成 [1, 10] 内数字的函数 rand10(),注意这里的随机生成的意思是等概率生成范围内的数字。这是一道很有意思的题目,由于 rand7() 只能生成1到7之间的数字,所以 8,9,10 这三个没法生成,那么怎么办?大多数人可能第一个想法就是,再用一个呗,然后把两次的结果加起来,范围不就扩大了么,扩大成了 [2, 14] 之间,然后如果再减去1,范围不就是 [1, 13] 了么。想法不错,但是有个问题,这个范围内的每个数字生成的概率不是都相等的,为啥这么说呢,我们来举个简单的例子看下,就比如说 rand2(),我们知道其可以生成两个数字1和2,且每个的概率都是 1/2。那么对于 (rand2() - 1) + rand2()呢,看一下:

rand2() - 1 + rand()2  =   ?
   1            1          1
   1            2          2
   2            1          2
   2            2          3

我们发现,生成数字范围 [1, 3] 之间的数字并不是等概率大,其中2出现的概率为 1/2,1和3分别为 1/4。这就不随机了。问题出在哪里了呢,如果直接相加,不同组合可能会产生相同的数字,比如 1+2 和 2+1 都是3。所以需要给第一个 rand2() 升一个维度,让其乘上一个数字,再相加。比如对于 (rand2() - 1) * 2 + rand2(),如下:

(rand2() - 1) * 2 + rand()2  =   ?
     1                  1         1
     1                  2         2
     2                  1         3
     2                  2         4

这时右边生成的 1,2,3,4 就是等概率出现的了。这样就通过使用 rand2(),来生成 rand4()了。那么反过来想一下,可以通过 rand4() 来生成 rand2(),其实更加简单,我们只需通过 rand4() % 2 + 1 即可,如下:

rand4() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1

同理,我们也可以通过 rand6() 来生成 rand2(),我们只需通过 rand6() % 2 + 1 即可,如下:

 rand6() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1
   5               2
   6               1

所以,回到这道题,我们可以先凑出 rand10N(),然后再通过 rand10N() % 10 + 1 来获得 rand10()。那么,只需要将 rand7() 转化为 rand10*N() 即可,根据前面的讲解,我们转化也必须要保持等概率,那么就可以变化为 (rand7() - 1) * 7 + rand7(),就转为了 rand49()。但是 49 不是 10 的倍数,不过 49 包括好几个 10 的倍数,比如 40,30,20,10 等。这里,我们需要把 rand49() 转为 rand40(),需要用到 拒绝采样 Rejection Sampling,总感觉名字很奇怪,之前都没有听说过这个采样方法,刷题也是个不停学习新东西的过程呢。简单来说,这种采样方法就是随机到需要的数字就接受,不是需要的就拒绝,并重新采样,这样还能保持等概率,具体的证明这里就不讲解了,博主也不会,有兴趣的童鞋们可以去 Google 一下~ 这里直接用结论就好啦,当用  rand49() 生成一个 [1, 49] 范围内的随机数,如果其在 [1, 40] 范围内,我们就将其转为 rand10() 范围内的数字,直接对 10 去余并加1,返回即可。如果不是,则继续循环即可,参见代码如下:

 

解法一:

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
        }
    }
};

 

我们可以不用 while 循环,而采用调用递归函数,从而两行就搞定,叼不叼~

 

解法二:

class Solution {
public:
    int rand10() {
        int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
        return (num <= 40) ? (num % 10 + 1) : rand10();
    }
};

 

我们还可以对上面的解法进行一下优化,因为说实话在 [1, 49] 的范围内随机到 [41, 49] 内的数字概率还是挺高的,我们可以做进一步的处理,就是当循环到这九个数字的时候,我们不重新采样,而是做进一步的处理,将采样到的数字减去 40,这样就相当于有了个 rand9(),那么通过 (rand9() - 1) * 7 + rand7(),可以变成 rand63(),对 rand63() 进行拒绝采样,得到 rand60(),从而又可以得到 rand10()了,此时还会多余出3个数字,[61, 63],通过减去 60,得到 rand3(),再通过变换 (rand3() - 1) * 7 + rand7() 得到 rand21(),此时再次调用拒绝采样,得到 rand20(),进而得到 rand10(),此时就只多余出一个 21,重复整个循环的概率就变的很小了,参见代码如下:

 

解法三:

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int a = rand7(), b = rand7();
            int num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
            a = num - 40, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 60) return num % 10 + 1;
            a = num - 60, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 20) return num % 10 + 1;
        }
    }
};

 

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/470

 

类似题目:

Generate Random Point in a Circle

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/discuss/152282/C%2B%2B-2-line

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/discuss/175450/Java-Solution-explain-this-problem-with-2D-matrix

 

LeetCode All in One 题目讲解汇总(持续更新中…)


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