548. Split Array with Equal Sum

 

Given an array with n integers, you need to find if there are triplets (i, j, k) which satisfies following conditions:

  1. 0 < i, i + 1 < j, j + 1 < k < n - 1
  2. Sum of subarrays (0, i - 1), (i + 1, j - 1), (j + 1, k - 1) and (k + 1, n - 1) should be equal.

where we define that subarray (L, R) represents a slice of the original array starting from the element indexed L to the element indexed R.

Example:

**Input:** [1,2,1,2,1,2,1]
**Output:** True
**Explanation:**
i = 1, j = 3, k = 5. 
sum(0, i - 1) = sum(0, 0) = 1
sum(i + 1, j - 1) = sum(2, 2) = 1
sum(j + 1, k - 1) = sum(4, 4) = 1
sum(k + 1, n - 1) = sum(6, 6) = 1

Note:

  1. 1 <= n <= 2000.
  2. Elements in the given array will be in range [-1,000,000, 1,000,000].

 

这道题给了我们一个数组,让我们找出三个位置,使得数组被分为四段,使得每段之和相等,问存不存在这样的三个位置,注意三个位置上的数字不属于任何一段。刚开始博主觉得这题貌似跟之前那道 Partition Equal Subset Sum 很像,所以在想能不能用DP来做,可是想了半天不知道DP该如何定义,更别说推导状态转移方程了。于是就尝试了建立累加和数组,并搜索所有的可能组合,进行暴力破解,结果却TLE了。说明OJ不接受时间复杂度为三次方的解法,那么就要想办法来优化了,博主只好上网学习大神们的解法,发现大神们的解法果然巧妙,只是改变了一个查找顺序,就轻易的将时间复杂度降到了平方级,碉堡了有木有。思路是这样的,因为我们需要找三个位置i,j,k,如果我们按正常的顺序来暴力搜索,那么就会遍历所有的情况,其实大部分的情况都是不符合题意的,会有大量的无用的运算。而如果我们换一个角度,先搜索j的位置,那么i和k的位置就可以固定在一个小的范围内了,而且可以在j的循环里面同时进行,这样就少嵌套了一个循环,所以时间复杂度会降一维度。确定j的范围应该左右各留3个数字,因为四段均不能为空,而且分割位上的数字不能算入四段。再确定了j的位置后,i和k的位置就能分别确定了,我们要做的是先遍历i的所有可能位置,然后遍历所有的拆分情况,如果拆出的两段和相等,则把这个相等的值加入一个集合中,然后再遍历k的所有情况,同样遍历所有的拆分情况,如果拆出两段和相等,再看这个相等的和是否在集合中,如果存在,说明拆出的四段和都可以相同,那么返回true即可,否则当遍历结束了,返回false。唉,为啥自己就想不到呢,估计这就是和大神的差距吧,泪目中。。

 

解法一:

class Solution {
public:
    bool splitArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() < 7) return false;
        int n = nums.size();
        vector<int> sums = nums;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            sums[i] = sums[i - 1] + nums[i];
        }
        for (int j = 3; j < n - 3; ++j) {
            unordered_set<int> s;
            for (int i = 1; i < j - 1; ++i) {
                if (sums[i - 1] == (sums[j - 1] - sums[i])) {
                    s.insert(sums[i - 1]);
                }
            }
            for (int k = j + 1; k < n - 1; ++k) {
                int s3 = sums[k - 1] - sums[j], s4 = sums[n - 1] - sums[k];
                if (s3 == s4 && s.count(s3)) return true;
            }
        }
        return false;
    }
};

 

下面这种解法是递归的暴力破解写法,刚开始博主还纳闷了,为啥博主之前写的迭代形式的暴力破解过不了OJ,而这个递归版本的确能通过呢,仔细研究了一下,发现这种解法有两个地方做了优化。第一个优化是在for循环里面,如果i不等于1,且当前数字和之前数字均为0,那么跳过这个位置,因为加上0也不会对target有任何影响,那为什么要加上i不等于1的判断呢,因为输入数组如果是七个0,那么实际上应该返回true的,而如果没有i != 1这个条件限制,后面的代码均不会得到执行,那么就直接返回false了,是不对的。第二个优化的地方是在递归函数里面,只有当curSum等于target了,才进一步调用递归函数,这样就相当于做了剪枝处理,减少了大量的不必要的运算,这可能就是其可以通过OJ的原因吧。

再来说下子函数for循环的终止条件 i < n - 5 + 2*cnt 是怎么得来的,是的,这块的确是个优化,因为i的位置是题目中三个分割点i,j,k的位置,所以其分别有自己可以取值的范围,由于只有三个分割点,所以cnt的取值可以是0,1,2。
-> 当cnt=0时,说明是第一个分割点,那么i < n - 5,表示后面必须最少要留5个数字,因为分割点本身的数字不记入子数组之和,那么所留的五个数字为:数字,第二个分割点,数字,第三个分割点,数字。
-> 当cnt=1时,说明是第二个分割点,那么i < n - 3,表示后面必须最少要留3个数字,因为分割点本身的数字不记入子数组之和,那么所留的三个数字为:数字,第三个分割点,数字。
-> 当cnt=2时,说明是第三个分割点,那么i < n - 1,表示后面必须最少要留1个数字,因为分割点本身的数字不记入子数组之和,那么所留的一个数字为:数字。

 

解法二:

class Solution {
public:
    bool splitArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() < 7) return false;
        int n = nums.size(), target = 0;
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        for (int i = 1; i < n - 5; ++i) {
            if (i != 1 && nums[i] == 0 && nums[i - 1] == 0) continue;
            target += nums[i - 1];
            if (helper(nums, target, sum - target - nums[i], i + 1, 1)) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
    bool helper(vector<int>& nums, int target, int sum, int start, int cnt) {
        if (cnt == 3) return sum == target;
        int curSum = 0, n = nums.size();
        for (int i = start + 1; i < n - 5 + 2 * cnt; ++i) {
            curSum += nums[i - 1];
            if (curSum == target && helper(nums, target, sum - curSum - nums[i], i + 1, cnt + 1)) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
};

 

基于上面递归的优化方法的启发,博主将两个优化方法加到了之前写的迭代的暴力破解解法上,就能通过OJ了,perfect!

 

解法三:

class Solution {
public:
    bool splitArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> sums = nums;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            sums[i] = sums[i - 1] + nums[i];
        }
        for (int i = 1; i <= n - 5; ++i) {
            if (i != 1 && nums[i] == 0 && nums[i - 1] == 0) continue;
            for (int j = i + 2; j <= n - 3; ++j) {
                if (sums[i - 1] != (sums[j - 1] - sums[i])) continue;
                for (int k = j + 2; k <= n - 1; ++k) {
                    int sum3 = sums[k - 1] - sums[j];
                    int sum4 = sums[n - 1] - sums[k];
                    if (sum3 == sum4 && sum3 == sums[i - 1]) {
                        return true;
                    }
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/split-array-with-equal-sum/

https://leetcode.com/problems/split-array-with-equal-sum/discuss/101484/java-solution-dfs

https://leetcode.com/problems/split-array-with-equal-sum/discuss/101481/simple-java-solution-on2

 

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