1187. Make Array Strictly Increasing

Given two integer arrays arr1 and arr2, return the minimum number of operations (possibly zero) needed to make arr1 strictly increasing.

In one operation, you can choose two indices 0 <= i < arr1.length and 0 <= j < arr2.length and do the assignment arr1[i] = arr2[j].

If there is no way to make arr1 strictly increasing, return -1.

Example 1:

Input: arr1 = [1,5,3,6,7], arr2 = [1,3,2,4]
Output: 1
Explanation: Replace `5` with `2`, then `arr1 = [1, 2, 3, 6, 7]`.

Example 2:

Input: arr1 = [1,5,3,6,7], arr2 = [4,3,1]
Output: 2
Explanation: Replace `5` with `3` and then replace `3` with `4`. `arr1 = [1, 3, 4, 6, 7]`.

Example 3:

Input: arr1 = [1,5,3,6,7], arr2 = [1,6,3,3]
Output: -1
Explanation: You can't make `arr1` strictly increasing.

Constraints:

  • 1 <= arr1.length, arr2.length <= 2000
  • 0 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^9

这道题给了两个数组 arr1 和 arr2,说是可以用 arr2 中的数字来替换 arr1 中的数字,问最少需要替换多少次才能使 arr1 中的数字严格有序。所谓严格有序,就是必须是数字必须从小到大,而且不能有相等的数字出现。而且 arr2 中的每个数字只能使用一次,不过这点说不说都无所谓,因为要求严格递增,用相同的数字替换两次肯定也不符合题意。再来考虑,都是什么情况下需要替换数字呢,可以参考例子中的情况,当后面的数字小于相当的数字时,就要替换,那究竟是替换当前的数字为小一些的数字,还是替换后面的数字为大一些的数字呢?都有可能,需要考虑所有的情况,这样一来,整个问题就变的相当复杂了,基本上贪婪算法就不太可能了,这也算能对的其 Hard 的身价了。这里若是要替换后面的数字为较大的数字,那么就需要在 arr2 中找到比当前数字大的数字,为了让整个数组更容易的递增,那么这个较大数应该尽量越小越好,所以就是要找到第一个比当前数字大的数。为了更容易的在 arr2 中查找,而不是每次都遍历整个数组,需要给 arr2 排个序,然后用二分搜索来查找更高效一些,这里也可以将 arr2 放到一个 TreeSet 中,利用其自动排序的特点,之后再进行二分搜索就行了。这道题的正确解法是用动态规划 Dynamic Programming,这里的 dp 表达式比较难想,一般来说,dp 值都是定义为题目中要求的值,而这道题是个例外,这里的 dp[i][j] 表示对于数组中的前j个数字组成的子数组中,需要替换i次可以使得其变为严格递增,且第j个数字的最小值为 dp[i][j]。这里的 dp 值不是定义为替换次数,而是第j个数字的最小值(可能是替换后的值),因为要保证数组严格递增,最后一个数字的大小很重要,这是个关键信息,而这个数字的大小跟数组坐标之间没有啥必然联系,所以这个信息不太好放到 dp 数组的坐标中,而所求的替换次数跟数组长度是相关的,因为其不可能超过数组的总长度,最差的情况也就是将整个 arr1 数组都替换了(当然还需要考虑 arr2 的长度)。

接下来就来考虑状态转移方程怎么写,由于这里的j表示前j个数字,那么第j个数字实际上是 arr1[j-1],若第j个数字大于 dp[i][j-1],这里表示对于前 j-1 个数字,替换i次可以使得其严格递增,且第 j-1 个数字为 dp[i][j-1],这样的话就不需要额外的替换操作,还是严格递增增的,则 dp[i][j] 可以赋值为 arr1[j-1]。若此时i大于0,说明之前已经进行过替换操作,则上一个操作状态是 dp[i-1][j-1],当前操作是从 arr2 中选一个数字替换 arr1 的第j个数字,这里就要在 arr2 中选择第一个大于 dp[i-1][j-1] 的数字,若存在的话,就用这个数字来更新 dp[i][j] 的值。若某个时刻j等于n了,说明已经到 arr1 的末尾了,若此时 dp[i][j] 不等于 INT_MAX(初始值),说明是可以将整个 arr1 替换成严格递增的数组的,替换次数就是i,直接返回即可。最终循环退出了,返回 -1,参见代码如下:

class Solution {
public:
    int makeArrayIncreasing(vector<int>& arr1, vector<int>& arr2) {
        int n = arr1.size();
        if (n == 1) return 0;
        set<int> st(arr2.begin(), arr2.end());
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[0][0] = INT_MIN;
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            for (int i = 0; i <= j; ++i) {
                if (arr1[j - 1] > dp[i][j - 1]) {
                    dp[i][j] = arr1[j - 1];
                }
                if (i > 0) {
                    auto it = st.upper_bound(dp[i - 1][j - 1]);
                    if (it != st.end()) dp[i][j] = min(dp[i][j], *it);
                }  
                if (j == n && dp[i][j] != INT_MAX) return i;
            }
        }
        return -1;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1187

参考资料:

https://leetcode.com/problems/make-array-strictly-increasing/

https://leetcode.com/problems/make-array-strictly-increasing/discuss/377403/Python-DP-solution-with-explanation.

https://leetcode.com/problems/make-array-strictly-increasing/discuss/377680/Simple-Java-DP-Solution-%2B-TreeSet-with-Explanation-beats-100

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