Given a positive integer num , write a function which returns True if num is a perfect square else False.
Note: Do not use any built-in library function such as sqrt.
Example 1:
Input: 16
Returns: True
Example 2:
Input: 14
Returns: False
Credits:
Special thanks to @elmirap for adding this problem and creating all test cases.
这道题给了我们一个数，让我们判断其是否为完全平方数，那么显而易见的是，肯定不能使用 brute force，这样太不高效了，那么最小是能以指数的速度来缩小范围，那么我最先想出的方法是这样的，比如一个数字 49，我们先对其除以2，得到 24，发现 24 的平方大于 49，那么再对 24 除以2，得到 12，发现 12 的平方还是大于 49，再对 12 除以2，得到6，发现6的平方小于 49，于是遍历6到 12 中的所有数，看有没有平方等于 49 的，有就返回 true，没有就返回 false，参见代码如下：
解法一：
class Solution {
public:
bool isPerfectSquare(int num) {
if (num == 1) return true;
long x = num / 2, t = x * x;
while (t > num) {
x /= 2;
t = x * x;
}
for (int i = x; i <= 2 * x; ++i) {
if (i * i == num) return true;
}
return false;
}
};
下面这种方法也比较高效，从1搜索到 sqrt(num)，看有没有平方正好等于 num 的数：
解法二：
class Solution {
public:
bool isPerfectSquare(int num) {
for (int i = 1; i <= num / i; ++i) {
if (i * i == num) return true;
}
return false;
}
};
我们也可以使用二分查找法来做，要查找的数为 mid*mid，参见代码如下：
解法三：
class Solution {
public:
bool isPerfectSquare(int num) {
long left = 0, right = num;
while (left <= right) {
long mid = left + (right - left) / 2, t = mid * mid;
if (t == num) return true;
if (t < num) left = mid + 1;
else right = mid - 1;
}
return false;
}
};
下面这种方法就是纯数学解法了，利用到了这样一条性质，完全平方数是一系列奇数之和，例如：
1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
….
1+3+…+(2n-1) = (2n-1 + 1) n/2 = n* n
这里就不做证明了，我也不会证明，知道了这条性质，就可以利用其来解题了，时间复杂度为 O(sqrt(n))。
解法四：
class Solution {
public:
bool isPerfectSquare(int num) {
int i = 1;
while (num > 0) {
num -= i;
i += 2;
}
return num == 0;
}
};
下面这种方法是第一种方法的类似方法，更加精简了，时间复杂度为 O(lgn)：
解法五：
class Solution {
public:
bool isPerfectSquare(int num) {
long x = num;
while (x * x > num) {
x = (x + num / x) / 2;
}
return x * x == num;
}
};
这道题其实还有 O(1) 的解法，这你敢信？简直太丧心病狂了，详情请参见论坛上的这个帖子。
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https://github.com/grandyang/leetcode/issues/367
类似题目：
参考资料：
https://leetcode.com/problems/valid-perfect-square/
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