1238. Circular Permutation in Binary Representation

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Created At : 2023-10-28 15:14

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Given 2 integers n and start. Your task is return any permutation p of (0,1,2.....,2^n -1) such that :

p[0] = start
p[i] and p[i+1] differ by only one bit in their binary representation.
p[0] and p[2^n -1] must also differ by only one bit in their binary representation.

Example 1:

Input: n = 2, start = 3
Output: [3,2,0,1]
Explanation: The binary representation of the permutation is (11,10,00,01).
All the adjacent element differ by one bit. Another valid permutation is [3,1,0,2]

Example 2:

Input: n = 3, start = 2
Output: [2,6,7,5,4,0,1,3]
Explanation: The binary representation of the permutation is (010,110,111,101,100,000,001,011).

Constraints:

1 <= n <= 16
0 <= start < 2 ^ n

这道题说是给了两个整数n和 start，让返回一个 [0, 2^n-1] 范围内的全排列，使得起始数字是 start，并且相邻的两个数字之间只能相差一位，注意末尾和开头的数字也只能相差一位。所谓相差一位的意思就是说其二进制数中只有一个 bit 的不同，比如 111 和 101 就是相差一位的。这种求二进制数之间相差一位的题目之前也遇到过，就是那道求格雷码的题目 Gray Code，这里稍微不同的是起始数字不再是0，而是给定的 start，但还是要输出n个数字。这道题的主要难点还是要理解格雷码 Gray Code，可以参见维基百科或是这个帖子，对于有序数列中的i，生成其对应的格雷码的公式是 i ^ (i>>1)，这样求可以将 [0, 2^n-1] 范围内的对应的格雷码求出来了，如下表中的第三列所示：

Int	Binary	Gray Code	^011
0	000	000	011
1	001	001	010
2	010	011	000
3	011	010	001
4	100	110	101
5	101	111	100
6	110	101	110
7	111	100	111

但是这道题给定了一个起始数字，那怎么生成以 start 为起始的格雷码呢？其实只要让之前按顺序生成的格雷码同时 ‘亦或’ 上这个 start，得到的新的序列还是格雷码，具体的证明博主也不会，但确实是对的，可以参见上表中的第四列，即将第三列的格雷码同时 ‘亦或’ 上 011，得到的还是格雷码，知道如何证明的童鞋欢迎留言给博主，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    vector<int> circularPermutation(int n, int start) {
        vector<int> res;
        for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
            res.push_back(start ^ i ^ (i >> 1));
        }
        return res;
    }
};

如果无法想到同时 ‘亦或’ 上 start 这个操作，那么也可以采用笨办法，直接旋转按顺序生成的格雷码，找到其中的 start 位置，将其旋转到起始位置即可，因为相对位置不变，所以还是格雷码，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    vector<int> circularPermutation(int n, int start) {
        vector<int> res;
        for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
            res.push_back(i ^ (i >> 1));
        }
        rotate(res.begin(), find(res.begin(), res.end(), start), res.end());
        return res;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1238

类似题目：

Gray Code

参考资料：

https://leetcode.com/problems/circular-permutation-in-binary-representation/

https://leetcode.com/problems/circular-permutation-in-binary-representation/discuss/469592/C%2B%2B-6-line-intuitive-DP-solution

https://leetcode.com/problems/circular-permutation-in-binary-representation/discuss/414203/JavaC%2B%2BPython-4-line-Gray-Code

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